在数学中，绝对值是一个非常基础且重要的概念。它用来表示一个数到零的距离，因此总是非负的。无论这个数是正数还是负数，它的绝对值都是正数或零。

绝对值的基本定义

对于任意实数 \( x \)，其绝对值记作 \( |x| \)，定义如下：

\[

|x| =

\begin{cases}

x, & \text{当 } x \geq 0; \\

-x, & \text{当 } x < 0.

\end{cases}

\]

从几何意义上讲，绝对值可以理解为数轴上某个点与原点之间的距离。例如，\( |-5| = 5 \) 和 \( |3| = 3 \)。

绝对值的性质

绝对值具有以下一些基本性质：

1. 非负性：对于任何实数 \( x \)，有 \( |x| \geq 0 \)。

2. 对称性：对于任何实数 \( x \)，有 \( |-x| = |x| \)。

3. 三角不等式：对于任意两个实数 \( a \) 和 \( b \)，有 \( |a + b| \leq |a| + |b| \)。

4. 乘法法则：对于任意两个实数 \( a \) 和 \( b \)，有 \( |ab| = |a||b| \)。

应用实例

示例 1：计算绝对值

计算 \( |7 - 12| \)。

解：

\[

|7 - 12| = |-5| = 5.

\]

示例 2：解决方程

求解方程 \( |x - 3| = 5 \)。

解：

根据绝对值的定义，我们有两种情况：

- \( x - 3 = 5 \) 当 \( x - 3 \geq 0 \)，

- \( x - 3 = -5 \) 当 \( x - 3 < 0 \)。

分别解得：

- \( x = 8 \)（满足 \( x - 3 \geq 0 \)），

- \( x = -2 \)（满足 \( x - 3 < 0 \)）。

因此，方程的解为 \( x = 8 \) 或 \( x = -2 \)。

总结

绝对值不仅是数学中的基本工具，也是解决实际问题的重要手段。通过掌握绝对值的定义和性质，我们可以更轻松地处理各种数学问题。希望本文能帮助你更好地理解和应用绝对值的概念！