【分式的导数公式是什么】在微积分的学习中，分式的导数是一个常见的问题。对于函数形式为两个函数相除的表达式，如 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，我们通常需要使用商法则来求其导数。下面将对分式的导数进行总结，并以表格的形式清晰展示相关公式和应用方法。
一、分式的导数公式
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式被称为商法则（Quotient Rule），是求分式导数的核心工具。
二、分式的导数公式总结表
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 分式的导数 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 用于求两个可导函数之比的导数 |
| 特殊情况1：常数分子 | $ \left( \frac{c}{v} \right)' = -\frac{cv'}{v^2} $ | 当分子为常数时，导数为负号乘以分子与分母导数的比 |
| 特殊情况2：常数分母 | $ \left( \frac{u}{c} \right)' = \frac{u'}{c} $ | 当分母为常数时，导数等于分子导数除以常数 |
| 复合分式 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' $ | 可结合链式法则、乘积法则等综合使用 |
三、实际应用示例
例如，设 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $，则：
- $ u(x) = x^2 + 1 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x - 3 $，$ v'(x) = 1 $
代入公式得：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2} = \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1)}{(x - 3)^2}
$$
进一步化简即可得到最终结果。
四、注意事项
- 在使用商法则时，必须确保分母 $ v(x) \neq 0 $，否则函数无定义。
- 若分子或分母本身是复合函数，需结合链式法则进行求导。
- 商法则也可通过乘积法则推导而来，即把分式看作 $ u(x) \cdot [v(x)]^{-1} $。
五、总结
分式的导数是微积分中的基础内容之一，掌握商法则对于处理复杂的函数求导问题至关重要。通过理解并熟练运用分式的导数公式，可以更高效地解决数学、物理、工程等领域中的实际问题。
如需进一步了解其他类型的导数公式（如指数函数、三角函数等），可继续查阅相关内容。
