【高数都有什么公式】高等数学是大学理工科学生必修的一门基础课程，内容涵盖微积分、函数、极限、导数、积分、级数等多个方面。在学习过程中，掌握各类公式是理解知识点的关键。本文将对高数中常见的公式进行总结，并以表格形式呈现，帮助读者更清晰地了解和记忆这些重要公式。
一、基本函数与极限公式
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 常见函数 | $ y = x^n $, $ y = e^x $, $ y = \ln x $, $ y = \sin x $, $ y = \cos x $ | 基本初等函数 |
| 极限公式 | $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $ | 常用极限公式 |
| 无穷小比较 | $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} $ | 用于判断无穷小的阶数 |
二、导数与微分公式
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 基本导数 | $ (x^n)' = nx^{n-1} $ | 幂函数导数 |
| 指数函数导数 | $ (e^x)' = e^x $, $ (a^x)' = a^x \ln a $ | 指数函数求导 |
| 对数函数导数 | $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $, $ (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} $ | 对数函数导数 |
| 三角函数导数 | $ (\sin x)' = \cos x $, $ (\cos x)' = -\sin x $ | 常见三角函数导数 |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数求导方法 |
三、积分公式
| 类别 | 公式 | 说明 | ||
| 不定积分 | $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | 幂函数积分 | ||
| 指数函数积分 | $ \int e^x dx = e^x + C $, $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $ | 指数函数积分 | ||
| 对数函数积分 | $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ | 对数函数积分 |
| 三角函数积分 | $ \int \sin x dx = -\cos x + C $, $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | 常见三角函数积分 | ||
| 分部积分法 | $ \int u dv = uv - \int v du $ | 积分技巧之一 |
四、泰勒展开与麦克劳林展开
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 泰勒展开 | $ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots $ | 函数在某点附近的多项式近似 |
| 麦克劳林展开 | $ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots $ | 在 $ x=0 $ 处的泰勒展开 |
| 常见展开式 | $ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots $ | 指数函数的泰勒展开 |
五、常微分方程基础公式
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 一阶线性方程 | $ y' + P(x)y = Q(x) $ | 可用积分因子法求解 |
| 可分离变量方程 | $ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $ | 可分离变量后积分求解 |
| 齐次方程 | $ \frac{dy}{dx} = F\left(\frac{y}{x}\right) $ | 通过变量替换求解 |
六、多元函数微分
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 偏导数 | $ \frac{\partial f}{\partial x} $, $ \frac{\partial f}{\partial y} $ | 多元函数对某一变量的导数 |
| 全微分 | $ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy $ | 多元函数的全微分表达式 |
| 方向导数 | $ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} $ | 函数沿某一方向的变化率 |
七、重积分与曲线曲面积分
| 类别 | 公式 | 说明 |
| 二重积分 | $ \iint_D f(x,y) dA $ | 在平面区域上的积分 |
| 三重积分 | $ \iiint_V f(x,y,z) dV $ | 在空间区域上的积分 |
| 曲线积分 | $ \int_C f(x,y) ds $ | 沿曲线的积分 |
| 曲面积分 | $ \iint_S f(x,y,z) dS $ | 沿曲面的积分 |
| 斯托克斯公式 | $ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} $ | 联系曲线积分与曲面积分 |
总结
高等数学中的公式种类繁多，涵盖了从基础函数到高级微积分的多个领域。掌握这些公式不仅有助于理解数学概念，还能提高解题效率。建议结合例题反复练习，逐步建立起系统的知识框架。希望本文能为你的高数学习提供一定的参考和帮助。
