【等差数列的前n项和公式是什么】在数学中，等差数列是一个非常基础且重要的概念。它指的是一个数列中，每一项与前一项的差为定值，这个定值称为公差。了解等差数列的前n项和公式，有助于我们快速计算一系列数的总和。
等差数列的前n项和公式是数学学习中的核心内容之一，掌握它不仅有助于解题，还能提升对数列规律的理解能力。
一、等差数列的基本定义
- 首项：a₁
- 公差：d
- 第n项：aₙ = a₁ + (n - 1)d
- 前n项和：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ
二、等差数列前n项和的公式
等差数列的前n项和公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
$$
或等价地：
$$
S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前n项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ d $ 是公差；
- $ n $ 是项数。
这两个公式可以互换使用，根据题目给出的数据选择合适的表达方式。
三、公式推导简要说明
等差数列的前n项和公式可以通过“倒序相加法”来理解。例如，将数列从前往后写一遍，再从后往前写一遍，然后相加，会发现每一对的和都相等，从而得到总和的公式。
四、总结表格
| 项目 | 内容 |
| 公式名称 | 等差数列前n项和公式 |
| 公式一 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ |
| 公式二 | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ |
| 公式含义 | 计算等差数列前n项的总和 |
| 关键变量 | 首项 $ a_1 $、公差 $ d $、项数 $ n $、末项 $ a_n $ |
| 使用场景 | 数列求和、实际问题建模、数学竞赛等 |
五、实际应用举例
假设有一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14
- 首项 $ a_1 = 2 $
- 公差 $ d = 3 $
- 项数 $ n = 5 $
使用公式一计算前5项和：
$$
S_5 = \frac{5}{2}(2 + 14) = \frac{5}{2} \times 16 = 40
$$
验证：2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40，结果正确。
通过以上介绍，我们可以清晰地了解等差数列前n项和公式的来源、形式以及应用场景。掌握这一公式，有助于我们在数学学习中更加灵活地解决问题。
