在物理学中，多普勒效应是一种常见的现象，它描述了波源与观察者之间存在相对运动时，观察到的波频率发生改变的现象。这一效应广泛应用于声学、光学以及天文学等领域。以下是多普勒效应的四个核心公式及其应用场景。

1. 声波多普勒效应公式

当声源和观察者之间有相对运动时，观察到的声音频率会发生变化。其公式为：

\[

f' = f \cdot \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}

\]

其中：

- \(f'\) 是观察者接收到的频率；

- \(f\) 是声源发出的原始频率；

- \(v\) 是声波在介质中的传播速度；

- \(v_o\) 是观察者的速度（向声源运动时取正号）；

- \(v_s\) 是声源的速度（远离观察者时取正号）。

此公式适用于空气或其他均匀介质中声波的传播。

2. 光学多普勒效应公式

对于光波而言，由于光速是一个常数，其多普勒效应公式可以表示为：

\[

\lambda' = \lambda \cdot \frac{1 \pm u/c}{1 \mp u/c}

\]

或等价地写成频移形式：

\[

\nu' = \nu \cdot \frac{1 \mp u/c}{1 \pm u/c}

\]

其中：

- \(\lambda'\) 和 \(\lambda\) 分别是观察者接收到的波长和光源发出的原始波长；

- \(\nu'\) 和 \(\nu\) 分别是观察者接收到的频率和光源发出的原始频率；

- \(u\) 是光源相对于观察者的速度；

- \(c\) 是光速。

该公式用于解释恒星或星系的红移/蓝移现象。

3. 相对论修正版多普勒效应公式

在高速运动情况下，经典多普勒效应公式需要进行相对论修正。修正后的公式为：

\[

f' = f \sqrt{\frac{1 + \beta}{1 - \beta}}

\]

其中：

- \(f'\) 和 \(f\) 同上；

- \(\beta = \frac{v}{c}\)，即相对速度与光速之比。

这个公式适用于接近光速的极端条件。

4. 多普勒效应的应用场景

多普勒效应不仅限于理论研究，在实际应用中也发挥着重要作用。例如：

- 雷达测速：通过测量反射回来的微波频率变化来计算车辆的速度。

- 医学超声：利用血流中的红细胞散射超声波的频率变化来检测血流速度。

- 天体观测：通过分析恒星光谱的红移或蓝移判断其运动状态。

总结来说，多普勒效应的四个公式揭示了波的传播规律及其与运动之间的关系。这些公式不仅是物理学的重要组成部分，也是现代科技发展的基石之一。无论是日常生活还是科学研究，多普勒效应都为我们提供了丰富的洞察力。