在数学领域中，不等式是研究数量关系的重要工具之一。其中，有四个基本的不等式因其广泛应用和深刻内涵而备受关注。这些不等式不仅在理论上有重要意义，而且在实际问题解决中也具有极高的价值。以下是这四个基本不等式的公式及其推导过程。
1. 算术-几何平均不等式（AM-GM 不等式）
公式：
设 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 是非负实数，则
\[
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n},
\]
当且仅当 \(a_1 = a_2 = \cdots = a_n\) 时等号成立。
推导：
利用归纳法证明。对于 \(n=2\) 的情况，根据平方差公式可得：
\[
\left(\sqrt{a_1} - \sqrt{a_2}\right)^2 \geq 0,
\]
展开后即为 \(a_1 + a_2 \geq 2\sqrt{a_1 a_2}\)。假设对 \(n=k\) 成立，即
\[
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_k}{k} \geq \sqrt[k]{a_1 a_2 \cdots a_k}.
\]
对于 \(n=k+1\)，令 \(A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_k}{k}\)，则
\[
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_{k+1}}{k+1} = \frac{kA + a_{k+1}}{k+1}.
\]
通过构造性分析，结合归纳假设即可完成证明。
2. 柯西-施瓦茨不等式
公式：
对于任意实数序列 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) 和 \(b_1, b_2, \dots, b_n\)，有
\[
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2.
\]
推导：
考虑向量空间中的内积定义。设 \(\mathbf{u} = (a_1, a_2, \dots, a_n)\)，\(\mathbf{v} = (b_1, b_2, \dots, b_n)\)，则内积满足
\[
|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|,
\]
展开即为柯西-施瓦茨不等式。
3. 詹姆斯不等式
公式：
对于正数 \(x, y\)，有
\[
(x+y)^2 \geq 4xy.
\]
推导：
将不等式变形为
\[
x^2 + 2xy + y^2 \geq 4xy,
\]
即
\[
x^2 - 2xy + y^2 \geq 0,
\]
进一步化简为
\[
(x-y)^2 \geq 0,
\]
显然成立。
4. 幂均值不等式
公式：
设 \(p > q\)，对于非负实数 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)，有
\[
\left(\frac{a_1^p + a_2^p + \cdots + a_n^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}} \geq \left(\frac{a_1^q + a_2^q + \cdots + a_n^q}{n}\right)^{\frac{1}{q}}.
\]
推导：
利用凸函数的性质证明。幂函数 \(f(x) = x^p\) 在 \(p > 1\) 时为严格凸函数，由 Jensen 不等式可得上述结论。
以上便是四个基本不等式的公式及其推导过程。这些不等式不仅是数学分析的核心工具，也是解决优化问题、证明定理的基础。熟练掌握它们，可以极大地提升解题效率与思维深度。
