【单位反馈控制系统已知开环传递函数如何求闭环传递函数】在自动控制理论中，单位反馈控制系统是一种常见的结构形式。其特点是系统的反馈通道为1，即反馈信号直接等于被控对象的输出。在实际应用中，常常需要根据已知的开环传递函数来推导出系统的闭环传递函数。这不仅是系统分析的基础，也是控制器设计的重要依据。
本文将总结如何从开环传递函数出发，求解单位反馈控制系统的闭环传递函数，并通过表格形式清晰展示相关公式与计算步骤。
一、基本概念
- 开环传递函数：表示系统前向通道的传递函数，通常记为 $ G(s) $。
- 闭环传递函数：表示系统输入与输出之间的关系，在单位反馈下，记为 $ T(s) $。
- 单位反馈系统：反馈通道为1，即 $ H(s) = 1 $。
二、闭环传递函数的推导公式
对于单位反馈系统，其闭环传递函数的通用表达式为：
$$
T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)}
$$
其中：
- $ G(s) $ 是开环传递函数；
- $ 1 + G(s) $ 是系统的特征方程。
三、步骤总结
| 步骤 | 操作说明 | 示例 |
| 1 | 写出开环传递函数 $ G(s) $ | 若 $ G(s) = \frac{K}{s(s+1)} $ |
| 2 | 将 $ G(s) $ 代入闭环传递函数公式 | $ T(s) = \frac{\frac{K}{s(s+1)}}{1 + \frac{K}{s(s+1)}} $ |
| 3 | 对分母进行通分 | $ T(s) = \frac{K}{s(s+1) + K} $ |
| 4 | 简化分母表达式 | $ T(s) = \frac{K}{s^2 + s + K} $ |
四、关键点说明
- 分母为1 + 开环传递函数：这是单位反馈系统的核心特征；
- 分子保持不变：即闭环传递函数的分子始终是开环传递函数的分子；
- 稳定性判断：闭环系统的稳定性取决于分母多项式的根（即特征方程的极点）；
- 参数影响：增益 $ K $ 的变化会影响闭环系统的响应速度和稳态误差。
五、典型例子
| 开环传递函数 $ G(s) $ | 闭环传递函数 $ T(s) $ |
| $ \frac{1}{s+1} $ | $ \frac{1}{s+2} $ |
| $ \frac{2}{s(s+2)} $ | $ \frac{2}{s^2 + 2s + 2} $ |
| $ \frac{5}{s^2 + 3s + 2} $ | $ \frac{5}{s^2 + 3s + 7} $ |
六、总结
在单位反馈控制系统中，从已知的开环传递函数 $ G(s) $ 推导闭环传递函数 $ T(s) $ 是一个基础但重要的过程。其核心公式为：
$$
T(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)}
$$
通过该公式，可以快速得出系统的闭环模型，为进一步的系统分析、性能评估和控制器设计提供依据。掌握这一过程有助于理解控制系统的基本原理和设计方法。
