【高数定积分公式】在高等数学中，定积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。掌握常见的定积分公式对于理解和解决实际问题具有重要意义。以下是对一些常用定积分公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本定积分公式
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果 | |
| $ \int_a^b dx $ | $ \int_a^b 1 \, dx $ | $ b - a $ | |
| $ \int_a^b x^n \, dx $ (n ≠ -1) | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} \bigg | _a^b $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $ |
| $ \int_a^b e^x \, dx $ | $ e^x \bigg | _a^b $ | $ e^b - e^a $ |
| $ \int_a^b \sin x \, dx $ | $ -\cos x \bigg | _a^b $ | $ -\cos b + \cos a $ |
| $ \int_a^b \cos x \, dx $ | $ \sin x \bigg | _a^b $ | $ \sin b - \sin a $ |
| $ \int_a^b \frac{1}{x} \, dx $ (x > 0) | $ \ln x \bigg | _a^b $ | $ \ln b - \ln a $ |
二、对称区间上的定积分性质
| 积分区间 | 奇函数性质 | 偶函数性质 |
| $ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx $ | 若 $ f(-x) = -f(x) $，则积分值为 0 | 若 $ f(-x) = f(x) $，则积分值为 $ 2\int_0^a f(x) \, dx $ |
三、常见函数的不定积分与定积分关系
| 不定积分 | 对应的定积分（从 a 到 b） | ||
| $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $ | ||
| $ \int e^x dx = e^x + C $ | $ e^b - e^a $ | ||
| $ \int \sin x dx = -\cos x + C $ | $ -\cos b + \cos a $ | ||
| $ \int \cos x dx = \sin x + C $ | $ \sin b - \sin a $ | ||
| $ \int \frac{1}{x} dx = \ln | x | + C $ | $ \ln b - \ln a $ |
四、换元法与分部积分法
换元法（变量替换）：
若 $ u = g(x) $，则：
$$
\int_a^b f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du
$$
分部积分法：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
五、特殊函数的定积分
| 函数 | 定积分表达式 | 结果 | |
| $ \int_0^{\infty} e^{-x} dx $ | $ \lim_{b \to \infty} \int_0^b e^{-x} dx $ | 1 | |
| $ \int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx $ | $ \tan^{-1} x \bigg | _0^{\infty} $ | $ \frac{\pi}{2} $ |
| $ \int_0^1 x^n e^{-x} dx $ | 伽马函数 $ \Gamma(n+1) $ | $ n! $（当 n 为整数时） |
六、小结
定积分不仅是求面积的工具，更是理解函数变化率和累积过程的关键。掌握这些基础公式和技巧，有助于提高解题效率和数学思维能力。建议在学习过程中结合图形理解，加深对定积分几何意义的理解。
