在物理学中，动量守恒定律是一个非常重要的基本原理，它描述了在一个孤立系统内，总动量保持不变的现象。当两个物体发生碰撞时，如果碰撞过程中没有外力作用，并且系统的机械能也保持不变，则这种碰撞被称为弹性碰撞。本文将基于动量守恒定律和能量守恒定律，推导出弹性碰撞中涉及的速度关系公式。

假设存在两个物体A和B，其质量分别为m₁和m₂，在一维运动的情况下，它们以初速度v₁₀和v₂₀相向而行，并最终以v₁和v₂结束碰撞。根据动量守恒定律，我们可以写出如下等式：

\[ m_1v_{10} + m_2v_{20} = m_1v_1 + m_2v_2 \]

此外，由于这是一个弹性碰撞，系统的动能也是守恒的，因此有：

\[ \frac{1}{2}m_1v_{10}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{20}^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 \]

通过这两个方程联立求解，可以得到最终的速度表达式。首先从第一个方程中解出\(v_1\)或\(v_2\)（这里选择\(v_1\)）：

\[ v_1 = \frac{(m_1 - m_2)v_{10} + 2m_2v_{20}}{m_1 + m_2} \]

类似地，对于\(v_2\)也有相应的表达式：

\[ v_2 = \frac{(m_2 - m_1)v_{20} + 2m_1v_{10}}{m_1 + m_2} \]

这些公式表明，在弹性碰撞中，两物体的速度变化不仅取决于各自的初始速度，还与它们的质量比有关。特别地，当两物体质量相等时，碰撞后它们会交换速度；而当一个物体的质量远大于另一个时，轻质量物体的速度几乎完全反转，而重质量物体几乎不受影响。

以上就是关于动量守恒定律下弹性碰撞速度关系的基本推导过程。理解并掌握这些概念对于深入学习经典力学至关重要。希望本篇简短介绍能够帮助读者更好地理解这一物理现象及其背后的数学原理。