【泊松分布公式】泊松分布是一种常见的概率分布，常用于描述在一定时间或空间内随机事件发生的次数。它适用于独立事件发生概率较低、总体数量较大的情况。例如，电话呼叫中心每小时内接到的电话数、某地区每年发生的交通事故次数等都可以用泊松分布来建模。
泊松分布的核心公式如下：
$$
P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
$$
其中：
- $ P(X = k) $ 表示在给定时间内事件发生 $ k $ 次的概率；
- $ \lambda $ 是单位时间（或单位空间）内事件发生的平均次数（即期望值）；
- $ e $ 是自然对数的底，约等于 2.71828；
- $ k! $ 是 $ k $ 的阶乘。
泊松分布公式总结表
| 名称 | 含义 |
| $ P(X = k) $ | 事件恰好发生 $ k $ 次的概率 |
| $ \lambda $ | 单位时间（或空间）内事件的平均发生次数（期望值） |
| $ e $ | 自然对数的底，约为 2.71828 |
| $ k! $ | $ k $ 的阶乘，表示从 $ 1 $ 到 $ k $ 的所有整数的乘积 |
泊松分布的特点
1. 离散型分布：泊松分布只适用于非负整数（如0,1,2,...）。
2. 参数唯一：整个分布由一个参数 $ \lambda $ 决定。
3. 均值与方差相等：泊松分布的均值为 $ \lambda $，方差也为 $ \lambda $。
4. 适合稀有事件：当事件发生的概率较小且试验次数较多时，泊松分布是二项分布的良好近似。
应用场景举例
| 场景 | 说明 |
| 电话呼叫中心 | 每小时接收到的电话数量 |
| 网站访问量 | 某个网页每分钟的访问人数 |
| 医疗急救事件 | 某医院每天的急诊病例数 |
| 交通事故次数 | 某路段一年内的事故次数 |
| 城市公共交通乘客数量 | 某地铁站每小时的乘客数量 |
通过理解泊松分布的公式和特性，我们可以更好地分析和预测实际生活中的随机事件发生频率。在统计学、工程、金融等领域中，泊松分布在建模和预测方面具有重要的应用价值。
