【大学微积分必背公式】微积分是大学数学中非常重要的一门课程，它不仅是许多理工科专业的基础课程，也是进一步学习高等数学、物理、工程等学科的基石。掌握一些关键的微积分公式，可以帮助学生更高效地解题和理解概念。以下是对大学微积分中一些必背公式的总结，便于记忆与复习。
一、基本求导公式
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
二、基本积分公式
| 函数 | 积分 | ||
| $ \int x^n dx $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \int e^x dx $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \int a^x dx $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x} dx $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \int \sin x dx $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \int \cos x dx $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \int \sec^2 x dx $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \int \csc^2 x dx $ | $ -\cot x + C $ |
三、常见微分法则
| 法则 | 公式 |
| 常数倍法则 | $ (cf)' = cf' $ |
| 和差法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ |
| 乘积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $ |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
四、不定积分技巧
| 方法 | 适用情况 | 示例 |
| 换元积分法 | 被积函数含复合函数 | $ \int \sin(2x) dx $ |
| 分部积分法 | 乘积形式或反三角函数 | $ \int x \cos x dx $ |
| 有理函数分解 | 分母可因式分解 | $ \int \frac{1}{x^2 - 1} dx $ |
| 特殊函数积分 | 如三角函数、指数函数 | $ \int e^{-x^2} dx $（需特殊函数） |
五、泰勒展开与麦克劳林展开
| 函数 | 展开式（在 $ x=0 $ 处） | ||
| $ e^x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | ||
| $ \sin x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} $（$ | x | < 1 $） |
六、常用极限公式
| 极限表达式 | 结果 |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} $ | $ 0 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} $ | $ 1 $ |
| $ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $ | $ e $ |
总结
微积分的学习离不开对公式的熟练掌握与灵活运用。上述内容涵盖了微积分的基本导数、积分、法则、技巧及重要极限，是大学阶段必须掌握的核心知识点。建议同学们在学习过程中多做练习，结合图形理解函数的变化趋势，并通过反复应用来加深记忆。希望这份整理能为你的微积分学习提供帮助！
