【等差前n项求和公式】在数学中，等差数列是一种常见的数列形式，其特点是相邻两项之间的差值恒定。这个差值称为公差，通常用字母 $ d $ 表示。等差数列的前 $ n $ 项之和是数列求和中的一个重要问题，掌握这一公式有助于解决实际生活和数学问题。
等差前 $ n $ 项求和公式是：
$$
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
$$
其中：
- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和；
- $ a_1 $ 是首项；
- $ a_n $ 是第 $ n $ 项；
- $ n $ 是项数。
此外，也可以通过首项和公差来表示：
$$
S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d
$$
这个公式适用于所有等差数列，无论是正数、负数还是零的情况。
总结与对比
| 公式名称 | 公式表达式 | 适用条件 | 说明 |
| 等差前n项和公式（首项+末项） | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | 任意等差数列 | 适用于已知首项和末项时使用 |
| 等差前n项和公式（首项+公差） | $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 任意等差数列 | 适用于已知首项和公差时使用 |
实例解析
假设有一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14
- 首项 $ a_1 = 2 $
- 公差 $ d = 3 $
- 项数 $ n = 5 $
根据公式计算前5项的和：
$$
S_5 = \frac{5}{2} [2 \times 2 + (5 - 1) \times 3] = \frac{5}{2} [4 + 12] = \frac{5}{2} \times 16 = 40
$$
手动相加验证：
$ 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 $，结果一致。
通过以上分析可以看出，等差前n项求和公式是解决等差数列求和问题的核心工具。掌握并灵活运用这两个公式，可以更高效地处理相关问题。
