在数学分析中，幂级数是一种非常重要的工具，它可以帮助我们表示许多常见的函数，并且在求解微分方程、积分计算等方面有着广泛的应用。幂级数的和函数是将幂级数展开后得到的函数表达式。以下是七个基本的幂级数和函数公式：

1. 指数函数的幂级数展开：

\[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \]

2. 自然对数函数的幂级数展开（|x| < 1）：

\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \]

3. 正弦函数的幂级数展开：

\[ \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \]

4. 余弦函数的幂级数展开：

\[ \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \]

5. 幂函数的幂级数展开（|x| < 1, p为任意实数）：

\[ (1+x)^p = \sum_{n=0}^\infty \binom{p}{n} x^n = 1 + px + \frac{p(p-1)}{2!}x^2 + \cdots \]

6. 反正切函数的幂级数展开（|x| ≤ 1）：

\[ \arctan(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \]

7. 反双曲正弦函数的幂级数展开（|x| < 1）：

\[ \text{arsinh}(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2+1}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} \]

这些公式在理论研究和实际应用中都具有重要意义。掌握这些基本公式有助于更好地理解和运用幂级数的相关知识。