【伴随矩阵有哪些性质】在矩阵理论中，伴随矩阵（Adjoint Matrix）是一个非常重要的概念，尤其在求解逆矩阵、行列式以及线性方程组时具有广泛应用。本文将总结伴随矩阵的主要性质，并通过表格形式进行清晰展示。
一、伴随矩阵的定义
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，其伴随矩阵记作 $ \text{adj}(A) $，是由 $ A $ 的代数余子式组成的矩阵的转置。即：
$$
\text{adj}(A) = (C_{ij})^T
$$
其中 $ C_{ij} $ 是元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式。
二、伴随矩阵的主要性质
| 序号 | 性质描述 | 公式表达 |
| 1 | 伴随矩阵与原矩阵的乘积等于行列式的倍数 | $ A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I_n $ |
| 2 | 若 $ A $ 可逆，则 $ \text{adj}(A) = \det(A) \cdot A^{-1} $ | $ \text{adj}(A) = \det(A) \cdot A^{-1} $ |
| 3 | 伴随矩阵的行列式为 $ \det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1} $ | $ \det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1} $ |
| 4 | 伴随矩阵的转置等于原矩阵的伴随矩阵 | $ \text{adj}(A^T) = \text{adj}(A)^T $ |
| 5 | 若 $ A $ 是对称矩阵，则 $ \text{adj}(A) $ 也是对称矩阵 | $ A = A^T \Rightarrow \text{adj}(A) = \text{adj}(A)^T $ |
| 6 | 若 $ A $ 是正交矩阵，则 $ \text{adj}(A) = \det(A) \cdot A^T $ | $ \text{adj}(A) = \det(A) \cdot A^T $ |
| 7 | 伴随矩阵的秩：若 $ A $ 满秩，则 $ \text{rank}(\text{adj}(A)) = n $；若 $ A $ 秩为 $ r < n $，则 $ \text{rank}(\text{adj}(A)) = 1 $（当 $ r = n-1 $）或 0（当 $ r < n-1 $） | $ \text{rank}(\text{adj}(A)) = \begin{cases} n, & r=n \\ 1, & r=n-1 \\ 0, & r < n-1 \end{cases} $ |
三、小结
伴随矩阵是矩阵理论中的重要工具，不仅用于计算逆矩阵，还与行列式、矩阵的转置等有密切关系。掌握其性质有助于更深入理解矩阵的结构和应用。在实际问题中，如求解线性方程组、判断矩阵可逆性等，伴随矩阵都发挥着关键作用。
以上内容为原创整理，适用于学习或教学参考，旨在帮助读者更好地理解伴随矩阵的相关性质。
