在概率论与数理统计中，均匀分布是一种常见的连续型随机变量分布。当我们将这一概念扩展到二维空间时，就得到了二维均匀分布。这种分布描述了在一个平面区域内的点以相等的概率密度出现的情况。

假设我们有一个矩形区域，其边长分别为a和b，那么这个区域内的二维均匀分布可以表示为：

f(x, y) = 1 / (a b)，其中 x ∈ [0, a]，y ∈ [0, b]

现在，让我们来计算二维均匀分布的期望值和方差。

首先，我们需要知道期望值E(X)和E(Y)的定义。对于一个二维随机变量(X,Y)，它们各自的期望值可以通过以下公式计算：

E(X) = ∫∫x f(x, y)dxdy

E(Y) = ∫∫y f(x, y)dxdy

由于我们的分布是对称的，并且在整个区域内均匀分布，因此可以直接得出：

E(X) = a/2

E(Y) = b/2

接下来是方差Var(X)和Var(Y)的计算。方差的定义为：

Var(X) = E[(X - E(X))^2]

Var(Y) = E[(Y - E(Y))^2]

经过积分运算后，我们可以得到：

Var(X) = (a^2)/12

Var(Y) = (b^2)/12

从上述结果可以看出，在二维均匀分布中，每个维度上的方差都与该维度的平方成正比，且比例系数为1/12。这表明随着区域尺寸的增长，方差也会相应增大。

总结来说，二维均匀分布在数学上有明确的理论基础，其期望值位于矩形中心位置，而方差则反映了数据围绕中心点的离散程度。这些性质使得它成为许多实际问题建模的理想选择之一。例如，在地理信息系统中，可以使用二维均匀分布来模拟城市内不同地点的服务需求；在物理学领域，则可用于研究粒子在某个有限范围内随机移动的现象等等。