【导数公式及运算法则】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的导数公式和运算法则是学习微积分的基础。本文将对常见的导数公式及其基本运算法则进行系统总结，并通过表格形式直观展示，便于理解和记忆。
一、基本导数公式
以下是一些常见函数的导数公式：
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、导数的运算法则
导数的运算遵循一定的规则，这些规则可以帮助我们更高效地求解复杂函数的导数。以下是常用的导数运算法则：
| 法则名称 | 表达式 | 说明 |
| 常数倍法则 | $ [Cf(x)]' = C f'(x) $ | 常数乘以函数的导数等于常数乘以函数的导数 |
| 加法法则 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ | 两个函数之和的导数等于各自导数之和 |
| 减法法则 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ | 两个函数之差的导数等于各自导数之差 |
| 乘法法则 | $ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ | 两个函数乘积的导数等于第一个函数导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数 |
| 商法则 | $ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ | 两个函数商的导数等于分子导数乘分母减去分子乘分母导数，再除以分母平方 |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数的导数等于外层函数在内层函数处的导数乘以内层函数的导数 |
三、总结
导数是数学分析中的核心概念，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。掌握基本导数公式与运算法则，不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数变化规律的理解。建议在实际应用中结合具体问题灵活运用这些规则，逐步提升自己的微积分能力。
通过上述表格形式的整理，可以清晰地看到各类函数的导数以及导数的运算规则，便于复习与应用。
