【等差和等比所有公式】在数学中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型，它们各自具有独特的性质和计算公式。掌握这些公式对于学习数列、数列求和以及后续的数学应用非常重要。以下是对等差数列和等比数列所有常用公式的总结。
一、等差数列
等差数列是指每一项与前一项的差是一个常数的数列，这个常数称为“公差”，记作 d。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_1 $ 为首项，$ d $ 为公差 |
| 通项公式 | $ a_n = a_m + (n - m)d $ | $ a_m $ 为第m项 |
| 等差中项 | $ b = \frac{a + c}{2} $ | 若 $ a, b, c $ 成等差，则 $ b $ 为中间项 |
| 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ | 计算前n项的和 |
二、等比数列
等比数列是指每一项与前一项的比是一个常数的数列，这个常数称为“公比”，记作 r。
常用公式：
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ | $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比 |
| 通项公式 | $ a_n = a_m \cdot r^{n - m} $ | $ a_m $ 为第m项 |
| 等比中项 | $ b = \sqrt{ac} $ | 若 $ a, b, c $ 成等比，则 $ b $ 为中间项（注意：b > 0） |
| 前n项和 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $） | 当 $ r = 1 $ 时，$ S_n = n \cdot a_1 $ |
三、对比总结
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差 | $ d $ | 无，但有公比 $ r $ |
| 公比 | 无 | $ r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n - 1} $ |
| 前n项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
| 特殊情况 | 当 $ d = 0 $，数列为常数列 | 当 $ r = 1 $，数列为常数列 |
通过以上公式和对比，我们可以更清晰地理解等差数列和等比数列的基本性质与运算方式。熟练掌握这些公式，有助于解决实际问题中的数列相关题目，如求和、找规律、判断数列类型等。
