【残差平方和怎么计算】在统计学和回归分析中，残差平方和（Sum of Squared Errors, SSE） 是衡量模型拟合程度的重要指标之一。它表示实际观测值与模型预测值之间的差异总和的平方。SSE 越小，说明模型对数据的拟合越好。
本文将详细介绍残差平方和的定义、计算方法，并通过表格形式展示计算过程，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、什么是残差平方和？
在回归分析中，残差（Residual） 是指实际观测值（Y）与模型预测值（Ŷ）之间的差值，即：
$$
e_i = Y_i - \hat{Y}_i
$$
而残差平方和（SSE） 就是所有残差的平方和，公式如下：
$$
SSE = \sum_{i=1}^{n}(Y_i - \hat{Y}_i)^2
$$
其中：
- $ Y_i $：第 i 个实际观测值
- $ \hat{Y}_i $：第 i 个预测值
- $ n $：样本数量
二、如何计算残差平方和？
以下是计算残差平方和的基本步骤：
1. 收集数据：获取实际观测值 $ Y_i $ 和模型预测值 $ \hat{Y}_i $。
2. 计算每个点的残差：用 $ Y_i - \hat{Y}_i $ 得到每个点的残差。
3. 对每个残差进行平方：得到 $ (Y_i - \hat{Y}_i)^2 $。
4. 求和：将所有平方后的残差相加，得到 SSE。
三、示例计算
假设我们有以下数据，其中 X 是自变量，Y 是因变量，模型预测值为 Ŷ：
| 序号 | 实际值 $ Y_i $ | 预测值 $ \hat{Y}_i $ | 残差 $ e_i = Y_i - \hat{Y}_i $ | 残差平方 $ e_i^2 $ |
| 1 | 5 | 4 | 1 | 1 |
| 2 | 7 | 6 | 1 | 1 |
| 3 | 9 | 8 | 1 | 1 |
| 4 | 10 | 11 | -1 | 1 |
| 5 | 12 | 13 | -1 | 1 |
计算结果：
$$
SSE = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5
$$
四、总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 残差平方和是实际值与预测值之差的平方和，用于衡量模型拟合效果。 |
| 公式 | $ SSE = \sum_{i=1}^{n}(Y_i - \hat{Y}_i)^2 $ |
| 计算步骤 | 1. 计算残差；2. 平方残差；3. 求和 |
| 作用 | 评估模型准确性，越小表示模型越优 |
| 适用场景 | 线性回归、非线性回归、模型比较等 |
通过以上内容，我们可以清晰地了解残差平方和的含义及其计算方法。在实际数据分析中，SSE 是判断模型是否合理的常用指标之一，结合其他指标如 R²、均方误差（MSE）等，可以更全面地评估模型性能。
