在解析几何中，双曲线是一种重要的二次曲线。为了更好地理解双曲线的性质和应用，我们需要从其定义出发，逐步推导出它的标准方程。以下是详细的推导过程：
一、双曲线的定义
双曲线是平面内到两个定点（称为焦点）的距离之差的绝对值为常数的一组点的轨迹。设这两个焦点分别为 \( F_1(-c, 0) \) 和 \( F_2(c, 0) \)，且常数为 \( 2a \)（其中 \( 2a < 2c \)），则双曲线上的任意一点 \( P(x, y) \) 满足以下条件：
\[
|PF_1 - PF_2| = 2a
\]
其中 \( PF_1 \) 和 \( PF_2 \) 分别表示点 \( P \) 到焦点 \( F_1 \) 和 \( F_2 \) 的距离。
二、距离公式的应用
根据两点间距离公式，有：
\[
PF_1 = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}, \quad PF_2 = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}
\]
因此，双曲线的定义可以写成：
\[
\left| \sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \right| = 2a
\]
去掉绝对值符号后，得到两个情况：
1. \( \sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a \)
2. \( \sqrt{(x - c)^2 + y^2} - \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a \)
我们只考虑第一种情况，第二种情况类似处理。
三、化简方程
将方程两边同时加上 \( \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \)，得到：
\[
\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a + \sqrt{(x - c)^2 + y^2}
\]
两边平方，消去根号：
\[
(x + c)^2 + y^2 = (2a + \sqrt{(x - c)^2 + y^2})^2
\]
展开并整理：
\[
x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + (x - c)^2 + y^2
\]
进一步整理：
\[
x^2 + 2cx + c^2 + y^2 = 4a^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + x^2 - 2cx + c^2 + y^2
\]
消去相同项后：
\[
4cx = 4a^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}
\]
两边同时除以 4：
\[
cx = a^2 + a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}
\]
四、再次化简
将 \( \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \) 单独移到一边：
\[
a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} = cx - a^2
\]
两边平方：
\[
a^2((x - c)^2 + y^2) = (cx - a^2)^2
\]
展开并整理：
\[
a^2(x^2 - 2cx + c^2 + y^2) = c^2x^2 - 2a^2cx + a^4
\]
进一步整理：
\[
a^2x^2 - 2a^2cx + a^2c^2 + a^2y^2 = c^2x^2 - 2a^2cx + a^4
\]
消去相同项后：
\[
(a^2 - c^2)x^2 + a^2y^2 = a^4 - a^2c^2
\]
五、引入参数 \( b^2 \)
令 \( b^2 = c^2 - a^2 \)，则方程变为：
\[
b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2
\]
两边同时除以 \( a^2b^2 \)，得到标准形式：
\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
六、结论
经过上述推导，我们得到了双曲线的标准方程：
\[
\boxed{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}
\]
这就是双曲线的标准方程，适用于焦点在 \( x \)-轴上的情况。对于焦点在 \( y \)-轴上的双曲线，其标准方程为：
\[
\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1
\]
