【请问等价无穷小替换公式有哪些?】在高等数学中，等价无穷小替换是一个非常重要的工具，尤其在求极限时，能够大大简化计算过程。等价无穷小指的是当自变量趋近于某个值（通常是0）时，两个函数的比值趋于1。通过等价无穷小替换，可以将复杂的表达式转化为更简单的形式，从而更容易求解极限。
以下是一些常用的等价无穷小替换公式，适用于 $ x \to 0 $ 的情况：
常见等价无穷小替换公式总结
| 函数表达式 | 等价无穷小替换 | 适用条件 |
| $ \sin x $ | $ x $ | $ x \to 0 $ |
| $ \tan x $ | $ x $ | $ x \to 0 $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ | $ x \to 0 $ |
| $ \arctan x $ | $ x $ | $ x \to 0 $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x $ | $ x \to 0 $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ | $ x \to 0 $ |
| $ a^x - 1 $ | $ x \ln a $ | $ x \to 0 $, $ a > 0 $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{1}{2}x^2 $ | $ x \to 0 $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{x^2}{2} $ | $ x \to 0 $ |
| $ \sqrt{1+x} - 1 $ | $ \frac{x}{2} $ | $ x \to 0 $ |
| $ (1+x)^k - 1 $ | $ kx $ | $ x \to 0 $, $ k $ 为常数 |
使用注意事项
1. 替换时机：只有在乘除运算中才能直接使用等价无穷小替换；在加减运算中需谨慎，因为可能会导致误差。
2. 精度问题：某些情况下，仅用一次等价无穷小可能无法满足精度要求，此时需要使用更高阶的展开（如泰勒展开）。
3. 变量替换：如果变量不是趋近于0，而是趋近于其他值，应先进行变量代换，使其变为趋近于0的形式。
示例应用
例如，求极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
$$
利用等价无穷小替换 $ \sin x \sim x $，可得：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$$
再如：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
$$
利用 $ e^x - 1 \sim x $，可得：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$$
掌握这些等价无穷小替换公式，不仅有助于快速求解极限问题，还能提升对函数行为的理解。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解和应用能力。
