【定积分的概念】定积分是微积分中的一个重要概念，主要用于计算函数在某一区间上的“累积效果”。它与不定积分相对应，但具有明确的数值结果。定积分在物理、工程、经济学等领域有着广泛的应用，例如求面积、体积、质量、功等。
一、定积分的基本定义
设函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，将区间 $[a, b]$ 分成 $ n $ 个小段，每段长度为 $ \Delta x_i $，在每一段上取一个点 $ \xi_i $，构造和式：
$$
\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \cdot \Delta x_i
$$
当 $ n \to \infty $，且每个子区间的最大长度趋于 0 时，若该和式的极限存在，则称其为函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分，记作：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx
$$
其中，$ a $ 和 $ b $ 分别称为积分下限和上限，$ f(x) $ 称为被积函数，$ dx $ 表示积分变量。
二、定积分的几何意义
定积分 $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx $ 的几何意义是：函数 $ f(x) $ 与 x 轴之间，在区间 $[a, b]$ 上所围成的曲边梯形的面积（当 $ f(x) \geq 0 $ 时）。
如果 $ f(x) $ 在某些区间上为负值，则定积分表示的是有向面积，即正负部分可以相互抵消。
三、定积分的性质
| 性质 | 内容 |
| 1. 线性性 | $ \int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] \, dx = \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx $ $ \int_{a}^{b} c f(x) \, dx = c \int_{a}^{b} f(x) \, dx $（c 为常数） |
| 2. 区间可加性 | $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{b}^{c} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx $ |
| 3. 对称性 | 若 $ f(x) $ 是偶函数，则 $ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx $ 若 $ f(x) $ 是奇函数，则 $ \int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0 $ |
| 4. 积分上下限交换 | $ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = - \int_{b}^{a} f(x) \, dx $ |
四、定积分与不定积分的关系
根据牛顿-莱布尼兹公式，若 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数（即 $ F'(x) = f(x) $），则：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
这表明，定积分可以通过求不定积分再代入上下限来计算。
五、定积分的应用
| 应用领域 | 具体应用 |
| 数学 | 计算面积、体积、弧长等 |
| 物理 | 求功、质量、动量、能量等 |
| 经济学 | 求总收益、总成本、消费者剩余等 |
| 工程 | 结构分析、流体力学、热力学等 |
六、总结
定积分是微积分中用于计算函数在某区间上“累积量”的工具，具有明确的几何意义和实际应用价值。它与不定积分密切相关，通过牛顿-莱布尼兹公式实现了从不定积分到定积分的转化。掌握定积分的定义、性质及其应用，是进一步学习微积分和解决实际问题的基础。
