【什么是等比数列】等比数列是数学中一种重要的数列形式，广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。它与等差数列相对，具有不同的规律和特性。理解等比数列的基本概念和性质，有助于更好地掌握数列的相关知识。
一、什么是等比数列？
等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项开始，每一项与前一项的比值是一个常数的数列。这个常数称为公比，通常用字母 q 表示。
例如：
1, 2, 4, 8, 16, …
这是一个等比数列，其中首项为1，公比为2。
二、等比数列的定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = q \quad (n \geq 2)
$$
其中，$ q $ 是一个常数，那么该数列就是等比数列。
三、等比数列的基本性质
| 属性 | 内容 |
| 首项 | 数列的第一个数，记作 $ a_1 $ |
| 公比 | 每一项与前一项的比值，记作 $ q $ |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $（当 $ q \neq 1 $） |
| 当 $ q = 1 $ 时 | 所有项相等，和为 $ S_n = n \cdot a_1 $ |
四、等比数列的应用举例
| 场景 | 示例 |
| 经济增长 | GDP年增长率可视为等比数列 |
| 复利计算 | 银行利息按复利计算属于等比数列 |
| 生物繁殖 | 如细菌数量在理想条件下呈指数增长 |
| 折叠纸张 | 每次对折后厚度翻倍，符合等比规律 |
五、等比数列与等差数列的区别
| 特征 | 等差数列 | 等比数列 |
| 变化方式 | 每项与前项之差为定值 | 每项与前项之比为定值 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n-1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $ |
| 和的计算 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $ |
| 公比/公差 | 公差为常数 | 公比为常数 |
六、总结
等比数列是一种常见的数列类型，其核心特征是“每一项与前一项的比值为定值”。通过掌握其通项公式、求和方法以及实际应用，可以更好地理解和运用这一数学工具。无论是科学研究还是日常生活，等比数列都具有重要的现实意义。
