【概率论公式总结大全】在学习概率论的过程中，掌握各类基本公式是理解随机现象和进行统计推断的基础。本文对概率论中常见的公式进行了系统性总结，涵盖概率基础、条件概率、独立事件、期望与方差、常见分布等内容，并通过表格形式清晰展示，便于查阅与记忆。
一、概率基础公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 概率定义 | $ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} $ | A为事件，S为样本空间，n(A)为A发生的次数，n(S)为总可能情况数 |
| 互补事件 | $ P(A^c) = 1 - P(A) $ | A的补集的概率等于1减去A的概率 |
| 加法原理 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 两事件并集的概率等于各自概率之和减去交集的概率 |
| 互斥事件 | $ P(A \cap B) = 0 $ | 若A与B互斥，则它们同时发生的概率为0 |
二、条件概率与独立事件
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | |
| 条件概率 | $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $ | 在B发生的条件下，A发生的概率 |
| 独立事件 | $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $ | 若A与B独立，则它们的交集概率等于各自概率乘积 | |
| 全概率公式 | $ P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A | B_i)P(B_i) $ | 若$ B_1, B_2, ..., B_n $为一个划分，则A的概率可由各子事件的条件概率加权求和 |
三、期望与方差
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 数学期望（离散） | $ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) $ | 随机变量X的期望值 |
| 数学期望（连续） | $ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | 连续型随机变量的期望 |
| 方差 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 衡量随机变量与其均值的偏离程度 |
| 协方差 | $ Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $ | 衡量两个随机变量之间的线性关系 |
四、常见概率分布
1. 离散型分布
| 分布类型 | 概率质量函数 | 期望 | 方差 |
| 伯努利分布 | $ P(X=k) = p^k(1-p)^{1-k} $ | $ p $ | $ p(1-p) $ |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
2. 连续型分布
| 分布类型 | 概率密度函数 | 期望 | 方差 |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
五、大数定律与中心极限定理
| 定理名称 | 内容简述 |
| 大数定律 | 当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率趋于其概率 |
| 中心极限定理 | 独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布，无论原始分布如何 |
六、其他重要公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(A | B) = \frac{P(B | A)P(A)}{P(B)} $ | 用于计算逆向条件概率 |
| 期望线性性质 | $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $ | 期望具有线性性质 | ||
| 方差线性性质 | $ Var(aX + b) = a^2 Var(X) $ | 方差对常数不敏感，只与系数平方有关 |
结语
概率论作为数学的重要分支，广泛应用于统计学、机器学习、金融工程等领域。掌握这些基本公式不仅有助于理解随机现象，还能为后续的深入学习打下坚实基础。希望本文能成为你学习概率论的实用工具，帮助你在实际问题中灵活运用概率知识。
