【施密特正交化 求计算的过程 详细一点】在高等数学和线性代数中，施密特正交化（Gram-Schmidt Process）是一种将一组线性无关的向量转化为一组正交向量的方法。该方法广泛应用于内积空间、最小二乘法、特征值问题等领域。本文将详细说明施密特正交化的计算过程，并以表格形式进行总结。
一、施密特正交化的基本原理
设向量空间 $ V $ 中有一组线性无关的向量 $ \{v_1, v_2, ..., v_n\} $，我们希望通过施密特正交化将其转换为一组正交向量 $ \{u_1, u_2, ..., u_n\} $，再进一步可以将其单位化为一组标准正交基。
施密特正交化的步骤如下：
1. 第一步：令 $ u_1 = v_1 $
2. 第二步：从 $ v_2 $ 中减去其在 $ u_1 $ 上的投影，得到 $ u_2 $
3. 第三步：从 $ v_3 $ 中减去其在 $ u_1 $ 和 $ u_2 $ 上的投影，得到 $ u_3 $
4. 以此类推，直到所有向量都被处理完毕
二、施密特正交化的计算公式
对于任意一个向量 $ v_i $，其在前面已正交化的向量 $ u_j $ 上的投影为：
$$
\text{proj}_{u_j}(v_i) = \frac{\langle v_i, u_j \rangle}{\langle u_j, u_j \rangle} u_j
$$
因此，第 $ i $ 个正交向量为：
$$
u_i = v_i - \sum_{j=1}^{i-1} \frac{\langle v_i, u_j \rangle}{\langle u_j, u_j \rangle} u_j
$$
三、具体计算过程示例
假设我们有三个向量：
$$
v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
我们使用施密特正交化将其转换为一组正交向量 $ u_1, u_2, u_3 $
第一步：初始化 $ u_1 $
$$
u_1 = v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
$$
第二步：计算 $ u_2 $
$$
u_2 = v_2 - \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1
$$
计算内积：
- $ \langle v_2, u_1 \rangle = (1)(1) + (0)(1) + (1)(0) = 1 $
- $ \langle u_1, u_1 \rangle = (1)^2 + (1)^2 + (0)^2 = 2 $
所以：
$$
u_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - \frac{1}{2} \\ 0 - \frac{1}{2} \\ 1 - 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}
$$
第三步：计算 $ u_3 $
$$
u_3 = v_3 - \frac{\langle v_3, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1 - \frac{\langle v_3, u_2 \rangle}{\langle u_2, u_2 \rangle} u_2
$$
计算各项：
- $ \langle v_3, u_1 \rangle = (0)(1) + (1)(1) + (1)(0) = 1 $
- $ \langle v_3, u_2 \rangle = (0)(\frac{1}{2}) + (1)(-\frac{1}{2}) + (1)(1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $
- $ \langle u_2, u_2 \rangle = (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (1)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{2} $
代入：
$$
u_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}
$$
$$
= \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1}{3} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}
$$
$$
= \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{bmatrix}
$$
四、计算过程总结表
| 步骤 | 向量 | 计算表达式 | 结果 |
| 1 | $ u_1 $ | $ v_1 $ | $ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} $ |
| 2 | $ u_2 $ | $ v_2 - \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1 $ | $ \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix} $ |
| 3 | $ u_3 $ | $ v_3 - \frac{\langle v_3, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1 - \frac{\langle v_3, u_2 \rangle}{\langle u_2, u_2 \rangle} u_2 $ | $ \begin{bmatrix} -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{bmatrix} $ |
五、结论
通过施密特正交化，我们可以将一组线性无关的向量转化为一组正交向量。这个过程虽然计算量较大，但逻辑清晰，适用于各种线性代数问题。通过上述表格，我们可以更直观地理解每一步的计算方式和结果。
如果你需要对这些向量进一步单位化，只需将每个 $ u_i $ 除以它的模长即可得到一组标准正交基。
