【以ab为直径的圆的方程】在解析几何中，已知两点A和B作为圆的直径端点时，可以通过这两个点求出该圆的标准方程。这种情况下，圆心是线段AB的中点，半径则是AB长度的一半。以下是关于“以AB为直径的圆的方程”的总结与推导过程。
一、基本概念
- 圆的定义：平面上到定点（圆心）距离等于定长（半径）的所有点的集合。
- 直径：通过圆心且两端点都在圆上的线段。
- 已知条件：A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 是圆的两个端点，即直径的两个端点。
二、推导步骤
1. 确定圆心
圆心为AB的中点，其坐标为：
$$
C\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{1} \right)
$$
2. 计算半径
半径为AB的长度的一半，即：
$$
r = \frac{1}{2} \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
3. 写出圆的标准方程
标准方程为：
$$
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
$$
其中，$h = \frac{x_1 + x_2}{2}$，$k = \frac{y_1 + y_2}{2}$，$r$如上所述。
三、典型示例
假设点A(1, 2)，点B(5, 6)，则：
| 步骤 | 计算内容 |
| 1. 圆心坐标 | $\left( \frac{1+5}{2}, \frac{2+6}{2} \right) = (3, 4)$ |
| 2. 半径 | $\frac{1}{2} \sqrt{(5-1)^2 + (6-2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 16} = \frac{1}{2} \sqrt{32} = 2\sqrt{2}$ |
| 3. 圆的方程 | $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ |
四、总结
| 内容 | 说明 |
| 已知条件 | A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 为直径两端点 |
| 圆心 | 中点公式：$\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ |
| 半径 | $\frac{1}{2} \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ |
| 标准方程 | $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中$h, k, r$如上计算 |
通过上述方法，我们可以快速求出以任意两点为直径的圆的方程，适用于数学教学、几何分析及实际应用问题。
