【求高中三角函数所有公式归纳】在高中数学中，三角函数是一个重要的知识点，涉及角度、弧度、函数图像、周期性、恒等式等多个方面。为了帮助学生更好地掌握和复习这部分内容，本文将对高中阶段所学的三角函数相关公式进行系统归纳，并以加表格的形式呈现，便于理解和记忆。
一、基本概念与定义
三角函数是基于直角三角形边角关系建立的函数，主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）三种基本函数，以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）、余割（csc）。此外，还涉及弧度制、单位圆、三角函数的周期性等内容。
二、三角函数的基本公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 基本定义 | $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ $\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ $\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$ | 直角三角形中三角函数的定义 |
| 倒数关系 | $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$ $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$ | 三角函数的倒数关系 |
| 商数关系 | $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ | 正切与正弦、余弦的关系 |
| 平方关系 | $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$ | 三角恒等式的基础公式 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式表达 | 说明 |
| $-\theta$ | $\sin(-\theta) = -\sin \theta$ $\cos(-\theta) = \cos \theta$ $\tan(-\theta) = -\tan \theta$ | 负角公式 |
| $\pi - \theta$ | $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ $\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta$ | 补角公式 |
| $\pi + \theta$ | $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ $\tan(\pi + \theta) = \tan \theta$ | 补角公式 |
| $\frac{\pi}{2} - \theta$ | $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$ $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$ $\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$ | 余角公式 |
| $\frac{\pi}{2} + \theta$ | $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos \theta$ $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta$ $\tan\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\cot \theta$ | 余角公式 |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦和差公式 | $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ | 用于计算两个角的和或差的正弦值 |
| 余弦和差公式 | $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ | 用于计算两个角的和或差的余弦值 |
| 正切和差公式 | $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$ | 用于计算两个角的和或差的正切值 |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦倍角公式 | $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ | 两倍角的正弦公式 |
| 余弦倍角公式 | $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ $= 2\cos^2 \theta - 1$ $= 1 - 2\sin^2 \theta$ | 两倍角的余弦公式有三种形式 |
| 正切倍角公式 | $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ | 两倍角的正切公式 |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦半角公式 | $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ | 半角的正弦公式 |
| 余弦半角公式 | $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ | 半角的余弦公式 |
| 正切半角公式 | $\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$ | 半角的正切公式 |
七、积化和差与和差化积公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 积化和差公式 | $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$ $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$ $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$ | 将乘积转化为和差形式 |
| 和差化积公式 | $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$ $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$ $\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$ | 将和差转化为乘积形式 |
八、三角函数的图像与性质
| 函数 | 图像 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
| $\sin x$ | 波浪线 | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 奇函数 |
| $\cos x$ | 波浪线 | $\mathbb{R}$ | $[-1, 1]$ | $2\pi$ | 偶函数 |
| $\tan x$ | 双曲线 | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | 奇函数 |
| $\cot x$ | 双曲线 | $x \neq k\pi$ | $\mathbb{R}$ | $\pi$ | 奇函数 |
| $\sec x$ | 双曲线 | $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ | $2\pi$ | 偶函数 |
| $\csc x$ | 双曲线 | $x \neq k\pi$ | $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ | $2\pi$ | 奇函数 |
九、常见特殊角的三角函数值
| 角度（度） | 弧度 | $\sin \theta$ | $\cos \theta$ | $\tan \theta$ |
| $0^\circ$ | $0$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30^\circ$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $45^\circ$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90^\circ$ | $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | 无定义 |
十、总结
高中阶段的三角函数公式内容丰富，涵盖定义、恒等式、诱导公式、和差角、倍角、半角、积化和差、和差化积等多个方面。掌握这些公式不仅有助于解题，还能提升对三角函数整体理解的能力。建议同学们结合图形和实际例子进行学习，加深记忆和应用能力。
通过以上整理，希望同学们能够更加清晰地掌握高中三角函数的相关知识，为后续的学习打下坚实基础。
