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求高中三角函数所有公式归纳

2025-07-08 02:02:00

问题描述:

求高中三角函数所有公式归纳,真的熬不住了,求给个答案!

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2025-07-08 02:02:00

求高中三角函数所有公式归纳】在高中数学中,三角函数是一个重要的知识点,涉及角度、弧度、函数图像、周期性、恒等式等多个方面。为了帮助学生更好地掌握和复习这部分内容,本文将对高中阶段所学的三角函数相关公式进行系统归纳,并以加表格的形式呈现,便于理解和记忆。

一、基本概念与定义

三角函数是基于直角三角形边角关系建立的函数,主要包括正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)三种基本函数,以及它们的倒数函数:余切(cot)、正割(sec)、余割(csc)。此外,还涉及弧度制、单位圆、三角函数的周期性等内容。

二、三角函数的基本公式

公式名称 公式表达 说明
基本定义 $\sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$
$\cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$
$\tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$
直角三角形中三角函数的定义
倒数关系 $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$
$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$
$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$
三角函数的倒数关系
商数关系 $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
正切与正弦、余弦的关系
平方关系 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$
三角恒等式的基础公式

三、诱导公式(角度变换)

角度变换 公式表达 说明
$-\theta$ $\sin(-\theta) = -\sin \theta$
$\cos(-\theta) = \cos \theta$
$\tan(-\theta) = -\tan \theta$
负角公式
$\pi - \theta$ $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$
$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$
$\tan(\pi - \theta) = -\tan \theta$
补角公式
$\pi + \theta$ $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$
$\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$
$\tan(\pi + \theta) = \tan \theta$
补角公式
$\frac{\pi}{2} - \theta$ $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$
$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta$
$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$
余角公式
$\frac{\pi}{2} + \theta$ $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos \theta$
$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta$
$\tan\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\cot \theta$
余角公式

四、和差角公式

公式名称 公式表达 说明
正弦和差公式 $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ 用于计算两个角的和或差的正弦值
余弦和差公式 $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ 用于计算两个角的和或差的余弦值
正切和差公式 $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$ 用于计算两个角的和或差的正切值

五、倍角公式

公式名称 公式表达 说明
正弦倍角公式 $\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ 两倍角的正弦公式
余弦倍角公式 $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$
$= 2\cos^2 \theta - 1$
$= 1 - 2\sin^2 \theta$
两倍角的余弦公式有三种形式
正切倍角公式 $\tan 2\theta = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ 两倍角的正切公式

六、半角公式

公式名称 公式表达 说明
正弦半角公式 $\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$ 半角的正弦公式
余弦半角公式 $\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$ 半角的余弦公式
正切半角公式 $\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}}$ 半角的正切公式

七、积化和差与和差化积公式

公式名称 公式表达 说明
积化和差公式 $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]$
将乘积转化为和差形式
和差化积公式 $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$
$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$
$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$
将和差转化为乘积形式

八、三角函数的图像与性质

函数 图像 定义域 值域 周期 奇偶性
$\sin x$ 波浪线 $\mathbb{R}$ $[-1, 1]$ $2\pi$ 奇函数
$\cos x$ 波浪线 $\mathbb{R}$ $[-1, 1]$ $2\pi$ 偶函数
$\tan x$ 双曲线 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ $\mathbb{R}$ $\pi$ 奇函数
$\cot x$ 双曲线 $x \neq k\pi$ $\mathbb{R}$ $\pi$ 奇函数
$\sec x$ 双曲线 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ $2\pi$ 偶函数
$\csc x$ 双曲线 $x \neq k\pi$ $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ $2\pi$ 奇函数

九、常见特殊角的三角函数值

角度(度) 弧度 $\sin \theta$ $\cos \theta$ $\tan \theta$
$0^\circ$ $0$ $0$ $1$ $0$
$30^\circ$ $\frac{\pi}{6}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$45^\circ$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $1$
$60^\circ$ $\frac{\pi}{3}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$ $\sqrt{3}$
$90^\circ$ $\frac{\pi}{2}$ $1$ $0$ 无定义

十、总结

高中阶段的三角函数公式内容丰富,涵盖定义、恒等式、诱导公式、和差角、倍角、半角、积化和差、和差化积等多个方面。掌握这些公式不仅有助于解题,还能提升对三角函数整体理解的能力。建议同学们结合图形和实际例子进行学习,加深记忆和应用能力。

通过以上整理,希望同学们能够更加清晰地掌握高中三角函数的相关知识,为后续的学习打下坚实基础。

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