【求全微分方程的通解】在微分方程中，全微分方程是一种特殊的二阶微分方程，其形式为：
$$
M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0
$$
其中，$ M(x, y) $ 和 $ N(x, y) $ 是关于 $ x $ 和 $ y $ 的函数。如果该方程满足以下条件：
$$
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
$$
则称该方程为全微分方程（或称为恰当方程），并且存在一个函数 $ u(x, y) $，使得：
$$
du = M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy
$$
此时，全微分方程的通解为：
$$
u(x, y) = C
$$
其中，$ C $ 是任意常数。
全微分方程求解步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 检查方程是否为全微分方程：计算 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial N}{\partial x}$，若相等，则为全微分方程。 |
| 2 | 假设存在一个函数 $ u(x, y) $，使得 $ \frac{\partial u}{\partial x} = M(x, y) $，$ \frac{\partial u}{\partial y} = N(x, y) $。 |
| 3 | 对 $ M(x, y) $ 关于 $ x $ 积分，得到 $ u(x, y) $ 的表达式，积分常数可能为 $ y $ 的函数。 |
| 4 | 对 $ N(x, y) $ 关于 $ y $ 积分，得到 $ u(x, y) $ 的另一个表达式，积分常数可能为 $ x $ 的函数。 |
| 5 | 比较两个表达式，确定积分常数的具体形式，合并得到完整的 $ u(x, y) $。 |
| 6 | 将 $ u(x, y) = C $ 作为原方程的通解。 |
示例解析
假设全微分方程为：
$$
(2xy + 3x^2) \, dx + (x^2 + 2y) \, dy = 0
$$
- $ M(x, y) = 2xy + 3x^2 $
- $ N(x, y) = x^2 + 2y $
验证：
$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x,\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x
$$
两者相等，故为全微分方程。
接下来求 $ u(x, y) $：
1. 对 $ M $ 关于 $ x $ 积分：
$$
u(x, y) = \int (2xy + 3x^2) \, dx = x^2y + x^3 + f(y)
$$
2. 对 $ N $ 关于 $ y $ 积分：
$$
u(x, y) = \int (x^2 + 2y) \, dy = x^2y + y^2 + g(x)
$$
比较两个表达式，可得：
$$
u(x, y) = x^2y + x^3 + y^2
$$
因此，通解为：
$$
x^2y + x^3 + y^2 = C
$$
总结
全微分方程的求解关键在于判断其是否为全微分，并通过积分方法找到对应的势函数 $ u(x, y) $。最终通解为 $ u(x, y) = C $，具有明确的数学结构和应用价值。
| 项目 | 内容 |
| 方程形式 | $ M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 $ |
| 判断条件 | $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $ |
| 通解形式 | $ u(x, y) = C $ |
| 解题步骤 | 积分、比较、合并常数 |
| 应用领域 | 物理、工程、几何问题 |
