在高等代数中，行列式是一个非常重要的概念，它不仅在矩阵理论中占据核心地位，还在解线性方程组、计算特征值、判断矩阵可逆性等方面有着广泛的应用。行列式的计算虽然看似复杂，但掌握一些关键的公式和性质，可以大大简化运算过程，提高解题效率。
本文将介绍几个关于行列式的常用且重要的公式，帮助读者更好地理解和应用这一数学工具。
一、行列式的定义与基本性质
设 $ A = (a_{ij}) $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，其行列式记为 $ |A| $ 或 $ \det(A) $。行列式的定义可以通过排列组合的方式进行展开，即：
$$
\det(A) = \sum_{\sigma} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}
$$
其中 $ \sigma $ 是集合 $ \{1, 2, \ldots, n\} $ 的一个排列，$ \text{sgn}(\sigma) $ 表示该排列的符号（奇排列为 -1，偶排列为 +1）。
不过，在实际计算中，我们通常会利用以下几条重要的性质来简化计算：
- 交换两行（列），行列式变号；
- 某一行（列）乘以常数 $ k $，行列式也乘以 $ k $；
- 行列式某一行（列）为零，则行列式为零；
- 若两行（列）相同，行列式为零；
- 行列式等于其转置矩阵的行列式。
二、拉普拉斯展开定理
拉普拉斯展开是计算行列式的一种基本方法，适用于任意阶数的矩阵。其核心思想是通过某一特定行或列展开，将高阶行列式转化为低阶行列式的计算。
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 矩阵，$ a_{ij} $ 是第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素，$ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后得到的 $ (n-1) \times (n-1) $ 子矩阵的行列式，称为余子式。则有：
$$
\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}
$$
同样地，也可以按列展开：
$$
\det(A) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}
$$
这个公式在计算三阶或更高阶行列式时非常实用。
三、行列式的乘法性质
如果 $ A $ 和 $ B $ 都是 $ n \times n $ 的方阵，则有：
$$
\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)
$$
这是一个非常重要的性质，说明了行列式在矩阵乘法下的保持性。这在研究线性变换的复合、求逆矩阵等方面具有重要意义。
四、分块矩阵的行列式公式
对于某些特殊的分块矩阵，可以使用分块行列式的公式来简化计算。例如，设 $ A $、$ B $、$ C $、$ D $ 均为 $ n \times n $ 的矩阵，若满足一定条件（如 $ A $ 可逆），则有：
$$
\det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(A) \cdot \det(D - CA^{-1}B)
$$
这个公式在处理大型矩阵时特别有用，尤其是在计算机科学和工程领域中经常出现的结构化矩阵问题中。
五、特殊矩阵的行列式
某些特殊类型的矩阵具有固定的行列式表达式，例如：
- 对角矩阵：行列式为其对角线上所有元素的乘积；
- 上三角矩阵或下三角矩阵：行列式为其主对角线元素的乘积；
- 单位矩阵：行列式为 1；
- 正交矩阵：行列式为 ±1；
- 奇异矩阵：行列式为 0。
这些结论可以帮助我们在不进行复杂计算的情况下快速判断某些矩阵的行列式值。
六、克莱姆法则（Cramer’s Rule）
克莱姆法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。对于一个 $ n \times n $ 的线性方程组：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\vdots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n
\end{cases}
$$
若系数矩阵 $ A $ 的行列式 $ \det(A) \neq 0 $，则方程组有唯一解，解为：
$$
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}
$$
其中 $ A_i $ 是将矩阵 $ A $ 的第 $ i $ 列替换为常数项列向量 $ [b_1, b_2, \ldots, b_n]^T $ 后得到的矩阵。
总结
行列式作为线性代数中的核心概念，其计算和应用贯穿于多个数学分支。掌握上述几个重要公式，不仅能提升计算效率，还能加深对矩阵结构和线性变换的理解。无论是理论推导还是实际应用，行列式都扮演着不可或缺的角色。
希望本文能为你提供有价值的参考，助你在学习或研究中更高效地运用行列式知识。
