【分部积分公式】在微积分中，分部积分法是一种重要的积分技巧，常用于求解两个函数乘积的积分。其核心思想是将一个复杂的积分转化为更容易计算的形式。该方法基于乘积法则的逆运算，适用于无法直接积分或积分较为困难的情况。
一、分部积分公式的原理
分部积分公式来源于微分中的乘积法则：
$$
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
对两边进行积分，得到：
$$
\int \frac{d}{dx}[u(x)v(x)] dx = \int u'(x)v(x) dx + \int u(x)v'(x) dx
$$
左边可简化为 $u(x)v(x)$，因此有：
$$
u(x)v(x) = \int u'(x)v(x) dx + \int u(x)v'(x) dx
$$
移项得：
$$
\int u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) dx
$$
这就是分部积分公式，通常写作：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
二、分部积分的应用步骤
1. 选择 $u$ 和 $dv$：根据被积函数的形式，合理选择哪个部分作为 $u$（一般选容易求导的部分），哪个部分作为 $dv$（一般选容易积分的部分）。
2. 计算 $du$ 和 $v$：对 $u$ 求导得到 $du$，对 $dv$ 积分得到 $v$。
3. 代入公式：将 $u$、$v$、$du$ 代入公式进行计算。
4. 检查结果：确保计算过程无误，必要时可对结果进行微分验证。
三、常见类型与示例
| 类型 | 被积函数形式 | 示例 | 分部选择 | 结果 |
| 多项式 × 指数函数 | $x^2 e^x$ | $\int x^2 e^x dx$ | $u = x^2$, $dv = e^x dx$ | $x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$ |
| 多项式 × 三角函数 | $x \sin x$ | $\int x \sin x dx$ | $u = x$, $dv = \sin x dx$ | $-x \cos x + \sin x + C$ |
| 对数函数 × 多项式 | $\ln x$ | $\int \ln x dx$ | $u = \ln x$, $dv = dx$ | $x \ln x - x + C$ |
| 指数函数 × 三角函数 | $e^x \sin x$ | $\int e^x \sin x dx$ | $u = \sin x$, $dv = e^x dx$ | $\frac{e^x (\sin x - \cos x)}{2} + C$ |
四、注意事项
- 选择恰当的 $u$ 和 $dv$ 是关键，错误的选择可能导致更复杂的积分。
- 多次使用分部积分 是常见的做法，尤其在处理多项式与指数、三角函数的组合时。
- 注意积分常数：最终结果应加上常数 $C$，除非题目要求定积分。
五、总结
分部积分法是解决复杂积分问题的重要工具，尤其适用于乘积形式的函数。通过合理选择 $u$ 和 $dv$，可以将难以直接积分的表达式转化为更易处理的形式。掌握这一方法不仅有助于提高积分能力，也为后续学习微分方程等高级内容打下基础。
