【离散分布的期望和方差怎么求】在概率论与数理统计中，离散型随机变量的期望和方差是描述其分布特征的重要指标。期望反映了随机变量的“平均值”或“中心位置”，而方差则衡量了随机变量与其期望之间的偏离程度。本文将对常见的离散分布的期望和方差进行总结，并以表格形式展示。
一、期望（数学期望）的定义
对于一个离散型随机变量 $ X $，其可能取值为 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $，对应的概率分别为 $ p_1, p_2, \ldots, p_n $，则其期望为：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i
$$
二、方差的定义
方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，计算公式为：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、常见离散分布的期望和方差
以下是一些常见的离散分布及其期望和方差的计算方法：
| 分布名称 | 概率质量函数 $ P(X = x) $ | 期望 $ E(X) $ | 方差 $ \text{Var}(X) $ |
| 两点分布 | $ P(X = 1) = p $, $ P(X = 0) = 1-p $ | $ p $ | $ p(1 - p) $ |
| 二项分布 | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
| 超几何分布 | $ P(X = k) = \frac{C_K^k C_{N-K}^{n-k}}{C_N^n} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} $ | $ n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N - K}{N} \cdot \frac{N - n}{N - 1} $ |
四、小结
不同的离散分布具有不同的期望和方差，掌握这些公式有助于我们更好地理解随机变量的行为特征。在实际应用中，如统计分析、风险评估、数据建模等，期望和方差都是不可或缺的工具。
通过上述表格，可以快速查阅各类离散分布的期望与方差，提高学习和研究效率。同时，了解其背后的数学原理也有助于深入掌握概率统计的知识体系。
