在数学和物理学中，向量的叉乘（也称为向量积）是一种定义在三维空间中的二元运算。它不仅能够帮助我们理解两个向量之间的关系，还能用于计算面积、体积等几何量。本文将详细推导叉乘的坐标表示形式。
一、叉乘的基本概念
设向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 分别为：
\[
\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)
\]
它们的叉乘结果是一个新的向量 \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}\)，其方向遵循右手定则，大小等于以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。
二、叉乘的定义
根据叉乘的定义，\(\vec{c}\) 的分量可以通过行列式来表示：
\[
\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
\]
其中，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 是单位基向量。
三、展开行列式
利用行列式的性质，我们可以展开上述表达式：
\[
\vec{c} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}
- \mathbf{j} \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}
+ \mathbf{k} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix}
\]
进一步计算各小行列式的值：
\[
\begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} = a_2b_3 - a_3b_2
\]
\[
\begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} = a_1b_3 - a_3b_1
\]
\[
\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1
\]
因此，\(\vec{c}\) 可以写成：
\[
\vec{c} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
\]
四、叉乘的坐标表示
将上述结果整理后，得到叉乘的坐标表示：
\[
\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)
\]
其中：
\[
c_1 = a_2b_3 - a_3b_2, \quad c_2 = a_3b_1 - a_1b_3, \quad c_3 = a_1b_2 - a_2b_1
\]
五、总结
通过以上推导，我们得到了叉乘的坐标公式：
\[
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
\]
这一公式在解决实际问题时非常实用，尤其是在涉及力矩、角动量等问题时。
希望本文能帮助读者更好地理解和应用叉乘的概念！
