【概率论与数理统计公式总结】在学习概率论与数理统计的过程中，掌握各类基本公式和概念是理解后续内容的关键。以下是对该课程中常用公式的总结，便于复习与查阅。
一、基本概念
| 概念 | 定义 | 公式 | |
| 样本空间 | 所有可能结果的集合 | $ S = \{e_1, e_2, ..., e_n\} $ | |
| 事件 | 样本空间的子集 | $ A \subseteq S $ | |
| 概率 | 事件发生的可能性 | $ P(A) \in [0,1] $ | |
| 条件概率 | 在事件B发生的条件下，事件A发生的概率 | $ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad (P(B) > 0) $ |
| 独立事件 | 两事件的发生互不影响 | $ P(A \cap B) = P(A)P(B) $ | |
| 互斥事件 | 两事件不能同时发生 | $ A \cap B = \emptyset $ |
二、随机变量及其分布
1. 离散型随机变量
| 分布类型 | 概率质量函数（PMF） | 数学期望 | 方差 |
| 二项分布 | $ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 | $ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 | $ P(X=k) = (1-p)^{k-1} p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
2. 连续型随机变量
| 分布类型 | 概率密度函数（PDF） | 数学期望 | 方差 |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a \leq x \leq b $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
三、期望与方差
| 名称 | 定义 | 公式 |
| 数学期望 | 随机变量取值的加权平均 | $ E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X=x_i) $ 或 $ \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ |
| 方差 | 随机变量与其均值的平方偏差的期望 | $ Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2 $ |
| 协方差 | 两个随机变量的线性相关程度 | $ Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] $ |
| 相关系数 | 两个变量之间的标准化协方差 | $ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} $ |
四、大数定律与中心极限定理
| 定理名称 | 内容 |
| 大数定律 | 当样本容量增大时，样本均值趋于总体均值 |
| 中心极限定理 | 独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布 |
五、参数估计
| 方法 | 说明 | 公式示例 |
| 矩估计法 | 用样本矩估计总体矩 | $ \hat{\theta} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i $ |
| 最大似然估计法 | 使似然函数最大的参数值 | $ \hat{\theta} = \arg\max L(\theta) $ |
| 区间估计 | 给出一个区间，包含真实参数的概率 | $ \bar{X} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ |
六、假设检验
| 类型 | 原假设 $ H_0 $ | 备择假设 $ H_1 $ | 检验统计量 |
| 单样本均值检验 | $ \mu = \mu_0 $ | $ \mu \neq \mu_0 $ | $ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} $ |
| 双样本均值检验 | $ \mu_1 = \mu_2 $ | $ \mu_1 \neq \mu_2 $ | $ t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} $ |
| 卡方检验 | 分类数据的独立性或拟合优度 | $ \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} $ |
通过以上表格的整理，可以清晰地看到概率论与数理统计中的主要公式和概念。这些内容不仅有助于考试复习，也对实际问题的分析和建模具有重要指导意义。建议结合教材和习题进行深入理解和应用。
