【绝对值不等式的公式】在数学中，绝对值不等式是解决与绝对值相关的不等式问题的重要工具。它广泛应用于代数、函数分析以及实际问题的建模中。掌握常见的绝对值不等式公式有助于提高解题效率和准确性。
以下是对常见绝对值不等式公式的总结，并以表格形式进行展示，便于理解和记忆。
一、基本概念
绝对值
二、常见绝对值不等式公式总结
| 不等式形式 | 公式表达 | 解集表示 | 说明 | ||
| x | < a（a > 0） | -a < x < a | x ∈ (-a, a) | x 在 -a 和 a 之间 | |
| x | ≤ a（a ≥ 0） | -a ≤ x ≤ a | x ∈ [-a, a] | x 在 -a 和 a 之间，包括端点 | |
| x | > a（a > 0） | x < -a 或 x > a | x ∈ (-∞, -a) ∪ (a, +∞) | x 小于 -a 或大于 a | |
| x | ≥ a（a ≥ 0） | x ≤ -a 或 x ≥ a | x ∈ (-∞, -a] ∪ [a, +∞) | x 小于等于 -a 或大于等于 a | |
| x - b | < a（a > 0） | b - a < x < b + a | x ∈ (b - a, b + a) | x 在 b 的左右 a 距离内 | |
| x - b | ≤ a（a ≥ 0） | b - a ≤ x ≤ b + a | x ∈ [b - a, b + a] | x 在 b 的左右 a 距离内，包括端点 | |
| x - b | > a（a > 0） | x < b - a 或 x > b + a | x ∈ (-∞, b - a) ∪ (b + a, +∞) | x 小于 b - a 或大于 b + a | |
| x - b | ≥ a（a ≥ 0） | x ≤ b - a 或 x ≥ b + a | x ∈ (-∞, b - a] ∪ [b + a, +∞) | x 小于等于 b - a 或大于等于 b + a |
三、应用举例
1.
解集为：-5 < x < 5，即 x ∈ (-5, 5)
2.
解集为：x ≤ 1 或 x ≥ 5，即 x ∈ (-∞, 1] ∪ [5, +∞)
3.
解法：-7 ≤ 2x + 1 ≤ 7
⇒ -8 ≤ 2x ≤ 6
⇒ -4 ≤ x ≤ 3
即 x ∈ [-4, 3
四、注意事项
- 绝对值不等式的核心在于将绝对值符号去掉，转化为普通不等式。
- 在处理
- 若 a ≤ 0，则某些不等式无解（如
通过掌握这些公式和解题思路，可以更高效地处理与绝对值相关的不等式问题。建议在练习中多做变式题，以加深理解并提升灵活运用能力。
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