【复合函数的导数怎么求】在微积分中，复合函数的导数是通过链式法则（Chain Rule）来计算的。链式法则是求导过程中非常重要的一个规则，尤其在处理由多个函数嵌套而成的复合函数时，具有广泛的应用。
一、复合函数导数的基本概念
复合函数是指一个函数作为另一个函数的输入，形式为：
$$ y = f(g(x)) $$
其中，$ g(x) $ 是内层函数，$ f(u) $ 是外层函数，$ u = g(x) $。
要对这样的函数求导，不能直接对 $ f $ 和 $ g $ 分别求导再相乘，而是需要使用链式法则。
二、链式法则的公式
设 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则复合函数 $ y = f(g(x)) $ 的导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
即：
$$
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
三、求导步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定复合函数的结构，识别外层函数和内层函数。 |
| 2 | 对外层函数进行求导，把内层函数当作变量。 |
| 3 | 对内层函数进行求导。 |
| 4 | 将两个导数相乘，得到最终结果。 |
四、示例解析
例1：求函数 $ y = \sin(3x) $ 的导数。
- 外层函数：$ \sin(u) $，其中 $ u = 3x $
- 外层导数：$ \cos(u) $
- 内层导数：$ 3 $
- 结果：$ \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
例2：求函数 $ y = (x^2 + 1)^5 $ 的导数。
- 外层函数：$ u^5 $，其中 $ u = x^2 + 1 $
- 外层导数：$ 5u^4 $
- 内层导数：$ 2x $
- 结果：$ 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $
五、常见复合函数类型及导数
| 函数形式 | 导数 |
| $ \sin(u) $ | $ \cos(u) \cdot u' $ |
| $ \cos(u) $ | $ -\sin(u) \cdot u' $ |
| $ e^u $ | $ e^u \cdot u' $ |
| $ \ln(u) $ | $ \frac{1}{u} \cdot u' $ |
| $ u^n $ | $ n u^{n-1} \cdot u' $ |
六、注意事项
- 链式法则适用于任何可导的复合函数。
- 若有多个嵌套层次（如 $ f(g(h(x))) $），需逐层应用链式法则。
- 避免混淆内外函数，正确识别“谁是谁的函数”是关键。
总结
复合函数的导数本质上是通过链式法则将各层函数的导数相乘得到的。掌握这一方法后，即使面对复杂的函数结构，也可以逐步拆解、逐层求导，从而准确地得到结果。
