在概率论与统计学领域中，中心极限定理（Central Limit Theorem, 简称CLT）是一个非常重要的理论基础。它描述了大量随机变量的和在满足一定条件时会趋向于正态分布的现象。而当我们讨论独立同分布（Independent and Identically Distributed, 简称i.i.d.）的随机变量序列时，这一定理便有了更加具体的应用场景。

假设我们有一组随机变量X₁, X₂, ..., Xₙ，它们是相互独立且具有相同概率分布的。这意味着每个随机变量都遵循相同的概率密度函数或概率质量函数，并且彼此之间没有关联性。当这样的随机变量数量足够大时，根据独立同分布中心极限定理，这些随机变量的均值将会近似服从正态分布。

具体来说，如果我们定义样本均值为：

\[ \bar{X} = \frac{1}{n}(X_1 + X_2 + ... + X_n) \]

那么随着样本规模n趋于无穷大，样本均值\(\bar{X}\)将逐渐接近于一个均值为μ（总体均值），方差为σ²/n（总体方差除以样本大小）的标准正态分布N(μ, σ²/n)。

需要注意的是，为了使中心极限定理成立，通常需要满足一些基本假设条件：

- 随机变量必须是独立的；

- 它们必须来自同一个分布；

- 总体均值μ和总体方差σ²必须存在并且有限。

此外，在实际应用中，即使随机变量并非完全符合上述所有严格条件，只要接近这些理想状态，中心极限定理仍然可以提供良好的近似效果。

独立同分布中心极限定理不仅在理论上奠定了现代概率论的基础，而且在实践中也具有广泛的应用价值。例如，在金融风险评估、质量控制、医学研究等领域内，通过对大量数据进行分析处理，我们可以利用该定理来预测未来事件发生的可能性，从而做出更为科学合理的决策。

总之，独立同分布中心极限定理揭示了一个令人惊讶但又极其有用的规律：无论初始数据如何复杂多样，只要条件适当，它们的平均结果往往呈现出一种简单而优雅的形式——即正态分布。这为我们理解和解决现实世界中的许多问题提供了强有力的支持工具。