【向量相乘公式】在数学和物理中，向量是表示既有大小又有方向的量。在处理向量时，常见的操作之一就是“向量相乘”。根据不同的乘法方式，向量相乘可以分为点积（数量积）和叉积（向量积）两种形式。下面将对这两种乘法进行总结，并通过表格形式直观展示它们的定义、性质及应用场景。

一、点积（数量积）

点积也称为标量积，用于计算两个向量之间的夹角关系，结果是一个标量（即一个数值）。

- 定义：设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的点积为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

- 几何意义：点积等于两个向量长度的乘积与它们夹角余弦值的乘积：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b} \cos\theta

$$

- 性质：

- 交换律：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$

- 分配律：$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$

- 数乘结合律：$k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})$

- 应用：

- 计算两个向量之间的夹角

- 判断向量是否垂直（点积为0）

- 在物理中计算功、能量等

二、叉积（向量积）

叉积也称为向量积，用于计算两个向量所形成的平面的法向量，结果是一个向量。

- 定义：设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉积为：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

- 几何意义：叉积的模长等于由这两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在的平面（遵循右手法则）。

- 性质：

- 反交换律：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$

- 分配律：$\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$

- 数乘结合律：$k(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = (k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (k\mathbf{b})$

- 应用：

- 计算平面的法向量

- 在物理中计算力矩、磁感应强度等

- 在计算机图形学中用于判断物体朝向

三、点积与叉积对比表

通过以上总结可以看出，点积和叉积是向量运算中非常重要的两种形式，分别适用于不同的场景。理解它们的定义、性质和应用，有助于在数学、物理以及工程领域中更高效地处理相关问题。